現(xiàn)代數(shù)學的空前發(fā)展以及對社會的突出作用勢必要對義務教育階段的數(shù)學教育產生重大的影響。下面就從數(shù)學教育的目的、數(shù)學課程內容和數(shù)學教學過程等幾方面展開討論。 一、數(shù)學科學的廣泛應用，要求數(shù)學教育必須重視培養(yǎng)學生的應用意識 如前所述，20世紀下半葉數(shù)學的一個最大進展是它的廣泛應用，數(shù)學的價值觀因此發(fā)生了深刻的變化。這一變化必將對數(shù)學教育產生重要的影響，最直接的一個結論就是數(shù)學教育要重視應用意識和應用能力的培養(yǎng)。數(shù)學的思維訓練價值和作為科學語言的作用仍然是重要的，但"數(shù)學應用意識的孕育""數(shù)學建模能力的培養(yǎng)""聯(lián)系學生的日常生活并解決相關的問題"等方面的要求則越來越處于突出的地位。反思我國數(shù)學教學的現(xiàn)狀，"數(shù)學是理性的音樂""數(shù)學是思維的體操"或者"數(shù)學是科學的語言"已經成為人所共知的名言，但數(shù)學的應用卻長期得不到重視。針對這一現(xiàn)狀，不少數(shù)學家呼吁要"重視數(shù)學應用，還數(shù)學以本來面貌"，數(shù)學是"生活的需要，是最后制勝的法寶"。 對于數(shù)學應用還存在著一個誤解，認為只要數(shù)學知識學好了，自然就會應用。實際上，很多數(shù)學家都認識到培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識和能力是一件很不簡單的事情，它絕不是知識學習的附屬產品。為了培養(yǎng)應用意識，必須使學生受到必要的數(shù)學應用的實際訓練，否則強調應用意識就會成為空洞的說教，這是一項并不容易的任務，它牽扯到轉變觀念、改變課程安排等多方面因素，需要認真研究和推行。 因此，我們的數(shù)學教育必須重視數(shù)學應用的教學，將應用意識的培養(yǎng)和應用能力的發(fā)展放在重要的地位上。數(shù)學教育要有助于學生建立對數(shù)學全面、正確的認識，使學生具有適應生活和社會的能力，使他們能親身運用所學的知識和思想方法去思考和處理問題。同時，我們還應認識到，從知識的掌握到知識的應用不是一件簡單的、自然而然就能實現(xiàn)的事情，必須經過充分的、有意識的訓練。因此，我們的數(shù)學課程和教學應該為學生提供大量的機會，使他們在解決實際問題的過程中逐步形成數(shù)學應用的意識和初步的應用能力。 二、數(shù)學科學的獨特思考方式，要求數(shù)學教育重視培養(yǎng)學生數(shù)學地思考問題 數(shù)學對國家的貢獻不僅在于國富，而且還在于民強。除了能解決實際問題之外，數(shù)學還提供了某些普遍適用并且強有力的思考方式，包括直觀判斷、歸納類比、抽象化、邏輯分析、建立模型、將紛繁的現(xiàn)象系統(tǒng)化（公理化的方法）、運用數(shù)據進行推斷、最優(yōu)化等。用這些方式思考問題，可以使人們更好地了解周圍的世界；使人們具有科學的精神、理性的思維和創(chuàng)新的本領；使人們充滿自信和堅韌。 數(shù)學教育不僅要培養(yǎng)學生的應用意識，而且要使學生學會數(shù)學地思考問題。一提到數(shù)學地思考問題，許多人就把它等同于演繹推理能力。這方面的培養(yǎng)當然是需要的，但如果我們只是注意數(shù)學的嚴格思維訓練就不夠了，甚至會產生負作用，即形成思想呆板的狀況。數(shù)學在表達和論證上是需要嚴格的，所以它經常采用的是演繹方法；但從實際問題抽象出概念和模型、構思證明方法等，則是一種歸納方法與嚴密思考相結合、直觀與嚴格相結合的抓住事物本質進而構成系統(tǒng)的抽象過程，這是一種獨特的數(shù)學思考方式。數(shù)學在培養(yǎng)學生思維方面，更重要的是培養(yǎng)學生這種數(shù)學思考方式，并將它應用于日常生活和工作。很多思想家用這種思維方式研究科學和社會問題，獲得巨大的成功。運用這種思維方式，對于一個現(xiàn)代社會的公民來說，同樣是十分重要的。 三、數(shù)學科學的發(fā)展為數(shù)學課程內容的選擇提供了依據 我們常常聽到一種說法，認為中小學生的任務就是打基礎，基礎打好了以后干什么都可以。原則上講這并沒錯，但難道任何"基礎知識和基本技能"都是重要的，都必須從小打好嗎?恐怕不行。寫一手好的毛筆字是不是基礎?背一些四書五經是不是基礎?會彈鋼琴是不是基礎?都是基礎，但是并非人人都必須具備的基礎?；A知識和基本技能多得很，沒有那么多的時間樣樣都學好，因此必須精心加以選擇。那么，數(shù)學課程的基礎內容究竟有哪些?當然不能以現(xiàn)有的課程內容作為惟一標準。選擇數(shù)學課程內容的標準，除了教育心理學等方面的見解以外，主要的一個方面是用數(shù)學的眼光進行判斷，從數(shù)學發(fā)展的角度進行分析。數(shù)學科學的發(fā)展，特別是與計算機的結合，使得數(shù)學的某些部分變得重要起來，而另一些部分又變得不那么重要了，數(shù)學課程要反映這些變化，因為這些變化將對基礎教育數(shù)學課程內容的選擇產生重大影響。 1．數(shù)據處理、算法、優(yōu)化、離散數(shù)學等內容越來越受到廣泛的重視。 首當其沖的是統(tǒng)計與概率的內容。因為，數(shù)據處理、預測風險已經成為信息社會中一個合格公民所必備的基本素質。統(tǒng)計與概率由于它既有極其廣泛的應用，又是義務教育階段惟一培養(yǎng)學生從隨機（或統(tǒng)計）角度觀察世界的數(shù)學內容，因此被很多國家的教材所采用，而我國卻將它僅僅列為"代數(shù)"中的一個單元，并且由于種種原因得不到重視。這種狀況應該得到切實的改觀。 另一些受到廣泛重視的是與計算機科學密切聯(lián)系的內容--算法、離散數(shù)學、優(yōu)化等。其實1986年ICMI在科威特討論"90年代學校數(shù)學"時就建議數(shù)學課程中要引進與計算機科學有關聯(lián)的離散數(shù)學的概念；要重新強調算法，并讓學生去比較解決同一問題的不同算法的效率。我國也有許多數(shù)學家大力呼吁應在義務教育階段滲透算法、離散數(shù)學、優(yōu)化思想等方面的內容。 2．注重對數(shù)和符號的理解、應用和表達，削弱繁瑣的計算。 計算器和計算機的廣泛使用，引發(fā)人們思考這樣的問題：是否還有必要讓學生花很多的時間做有關數(shù)和符號的計算?也就是在寶貴的9年的學習中，是否還要讓學生做那么多計算器和計算機能很快完成的事情呢?當然基本的訓練是理解計算規(guī)則和算理的保證，但那些繁瑣的、技巧性很高的計算的確應當大大削弱，以利于學生拓寬視野，把精力放在學習更有意義的內容上。 那么，對于數(shù)和符號的學習，究竟哪些內容更有用呢?概括起來，主要有：運用數(shù)和符號解決問題、進行表達和交流，理解運算的道理，尋求合理的算法，估計運算的結果，判斷結果的合理性等。即表達--用數(shù)和符號表達數(shù)量關系，操作--選擇適當?shù)姆椒ń鉀Q用數(shù)和符號形式表達的問題，解釋--從數(shù)據或符號推理中得出結論并對結果進行檢驗。因此，數(shù)和符號的學習應當更多地強調對所涉及的過程的理解，而少強調具體的常規(guī)的計算，這既避免了令人生厭的繁瑣計算又提高了學生的鑒賞能力。Z.Usiskin在談到"為所有人的代數(shù)"時指出，將來代數(shù)在解決問題時，將很少注意代數(shù)的技巧，因為通過便攜式機器和預編程序軟件就能做這些事情。但是卻需要提高對代數(shù)兩個方面的重視：能夠被應用的代數(shù)和作為一種交流語言的代數(shù)?！翢o疑問，將來的代數(shù)很少包含技能特性，而更多包含應用和表示特性。 就我國的情形而言，對計算的看法也應當是與時俱進的。算盤曾經在歷史上起過重大作用，但是畢竟在漸漸退出歷史舞臺，終于不敵計算機技術的普及。還有一個例子是老式的算術應用題，許多人覺得它對訓練數(shù)學思維很有好處而不舍得放棄。但是，老式算術應用題的教學非常重視分類，而且一類題目一個公式，靠記憶題型來解題，這樣的應用是基礎嗎?用現(xiàn)代數(shù)學的觀點看，數(shù)學應用首先要建立數(shù)學模型，將紛繁的現(xiàn)實情境用簡約的數(shù)學語言表示出來，表示能力是培養(yǎng)應用能力的關鍵之一。這樣一來，我們就應當把數(shù)學建模和實際問題的解決當做新的"基礎"。
3．發(fā)揮圖形直觀的功能。 圖形直觀是人們理解自然世界和社會現(xiàn)象的絕妙工具，特別是隨著計算機制圖和成像技術的發(fā)展，圖形直觀更是運用到人類生活和社會發(fā)展的各個角落，為人類帶來了無窮無盡的直覺源泉。 借助計算機的圖像顯示，函數(shù)圖象的教學可能會與過去很不一樣，教師既可以相當容易地向學生顯示幾乎任意函數(shù)的圖象，還可以引進許多實際的函數(shù)例子來顯示其變化。幾何的教學也將會與過去大為不同，通過計算機上大量立體圖形的顯示，學生可以盡早地接觸豐富的空間圖形，對稱、平移、旋轉等"變換"內容將會得到重視。 計算機的一個重要特征在于它可以直觀、動態(tài)地演示，由圖形帶來的直覺，能增進學生對數(shù)學的理解，激發(fā)他們的創(chuàng)造力。這會給我們選擇課程內容以很大的啟示。 四、數(shù)學科學的發(fā)展要求數(shù)學教學做到 "返璞歸真"，適度的"非形式化" 在20世紀上半葉，當時的數(shù)學中心在德國格丁根和法國的巴黎，形式主義和結構主義的影響十分巨大，英美教材不同程度地有形式主義的影子，而中國的數(shù)學教育也多半受英、美的影響。1949年建國之后，中國數(shù)學和數(shù)學教育全盤接受蘇聯(lián)的影響，而蘇聯(lián)數(shù)學學派則深受德國和法國的影響，體現(xiàn)在其數(shù)學教材中的是嚴格的演繹體系、純粹的邏輯方法，而這些征服了中國的數(shù)學教育界。幾十年過去了，"過度的形式化"成了中國數(shù)學教育傳統(tǒng)的重要組成部分，而國外卻早已物競人非了。 其實實踐一直是數(shù)學發(fā)展的豐富源泉，數(shù)學脫離了現(xiàn)實就會變成"無本之木""無源之水"。著名數(shù)學家J.V.Neumann早在1947年就說過："遠離了它的實踐的源泉之后，或者太多'抽象'的近親繁殖之后，數(shù)學學科就處在退化危險之中。在開始的時候，款式通常是經典的；當它有跡象表明成為巴洛克式時，那么，危險的信號就升起了。"在哲學上，哥德爾的兩個不完備性定理打破了形式主義建構整個數(shù)學的夢想。同時，數(shù)學在軍事、經濟、科學技術上的應用遠遠超出"結構"的限制，數(shù)學應用成為數(shù)學發(fā)展的重要動力之一，這一點前面已有專門的論述。從另一方面，數(shù)學的教育形態(tài)也隨著現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展發(fā)生了變化。著名數(shù)學家R.Courant很早就針對數(shù)學教育尖銳指出："2000年來，掌握一定的數(shù)學知識已被視為每個受教育者必須具備的智力。數(shù)學在教育中的這種特殊地位，今天正在出現(xiàn)嚴重危機。不幸的是數(shù)學教育工作者對此應負其責。數(shù)學的教學逐漸流于無意義的單純演算習題的訓練。固然這可以發(fā)展形式演算能力，但卻無助于對數(shù)學的真正理解，無助于提高獨立思考能力?！鲆晳?，忽視數(shù)學與其他領域之間的聯(lián)系，這種狀況絲毫不能說明形式化方針是對的；在重視智力訓練的人們中必然激起強烈的反感。"從20世紀80年代開始，西方數(shù)學教育界提出"非形式化的數(shù)學教學（informalmathematics teaching）"的口號，要求中小學的數(shù)學教學擺脫過度形式化的束縛，主張聯(lián)系學生的日常生活實際，增加數(shù)學問題的趣味性?？傊?，把數(shù)學呈現(xiàn)為學生容易接受的"教育形態(tài)"。 在20世紀90年代，我國提倡的"素質教育"和"創(chuàng)新教育"使得平靜的"過度形式化"的海洋頓時波濤洶涌，人們逐漸認識到：數(shù)學素質要比邏輯形式的內涵廣得多；數(shù)學創(chuàng)新精神是邏輯演繹所推不出來的；數(shù)學教學要提倡學生自己的數(shù)學活動；數(shù)學課程應面向自然、面向社會、面向實際；數(shù)學的學術形態(tài)應轉化為學生容易接受的教育形態(tài)。我國的一些數(shù)學家和數(shù)學教育工作者已經為此作出了努力。 1992年3月中國數(shù)學會教育工作委員會中與基礎教育有關的委員在廣州舉行會議，提出了《關于中小學數(shù)學教育改革的若干建議》，指出"二次世界大戰(zhàn)以后的數(shù)學發(fā)生了重大的改變，計算機的出現(xiàn)和應用數(shù)學的長足進展，使數(shù)學思想出現(xiàn)了深刻變化"，"中小學數(shù)學教學內容改革應該有積極遠大的目標，教材內容必須有較大幅度的刪簡和必要的充實更新"。
1992年底，數(shù)學教育高級研討班在寧波舉行?！?/span>數(shù)學素質教育設計（草案）》公布，其中明確提到"適度的非形式化"。 1993年，嚴士健、張奠宙、蘇式冬走訪國家考試中心，希望在高考中增加應用題的考試。建議被采納，其影響不斷擴大。 同年，西南師范大學陳重穆發(fā)表《淡化形式注重實質》的著名論文，對"摳字眼""背黑體字""挑起無謂的爭論（a（b＋c）是否為多項式之類）"等現(xiàn)象提出批評，引起廣泛重視和評論。張奠宙對此進一步作出闡述：如果一味地講抽象、嚴謹，除了把不喜歡數(shù)學的孩子們嚇跑之外，并不能給數(shù)學教育帶來多少好處。數(shù)學的內容如此豐富多彩、生動活潑，為什么非要眾口一詞地念叨"抽象""嚴謹"不可呢?……現(xiàn)在的九年義務制大綱，還保留著形式演繹的某些過分要求，例如初中學生不接觸立體幾何，說那是高中的事。可是大多數(shù)學生是不升高中的，他們一生就永遠接觸不到天天接觸的地球、建筑等立體幾何內容，這豈非作繭自縛！ 1996年，姜伯駒提出"20世紀下半葉數(shù)學的主要發(fā)展是應用"的論斷，主張用數(shù)學是"平臺"，反對無原則地"追求形式主義的公理化體系"。 1990～1998年，"21世紀中國數(shù)學教育展望--大眾數(shù)學的理論與實踐"課題組的一批年輕數(shù)學教育工作者明確提出：數(shù)學面向大眾，將成為21世紀初期我國數(shù)學教育的主旋律。 另一個重要的事件不得不提，《標準》在研制過程中曾經召開了兩次數(shù)學家座談會，許多數(shù)學家和數(shù)學教育家在會上就教材和教學中的"非形式化"提出了自己的看法，概括起來有這么幾點：教材和教學要貼近學生的生活，增加趣味性，對孩子有吸引力；教材和教學要體現(xiàn)數(shù)學結果的"來龍去脈"，給學生留出探索和創(chuàng)造的空間；教材和教學要力求從學生出發(fā)，平實近人。總之，義務教育的數(shù)學要與"學生們的生活實踐聯(lián)系得緊一點，直觀的多一點，動手實驗的多一點，使他們的興趣高一點，自信心強一點"。 當然，反對過度形式化，不是不要形式化。數(shù)學的形式化是數(shù)學的固有特點，形式化是理性思維的重要組成部分，學會將實際問題形式化，是學生需要學習和掌握的基本數(shù)學素質。我們這里討論的是"數(shù)學不要脫離實際""不要惟形式化"，以求得對數(shù)學精神實質的把握和形式化表達的動態(tài)平衡。數(shù)學內容的形態(tài)既有展現(xiàn)背景、注重應用、返璞歸真的一面，又有注意抽象表達和形式演繹的一面。當然，要做到二者的完美結合需要有一個長期積累與磨合的過程。這里，我們用平面直角坐標系的建立為例來說明。如果按形式主義觀點來處理，那就先得研究實數(shù)系，用戴德金分割或者康托序列定義實數(shù)，證明其連續(xù)性。然后，用可公度和不可公度線段的理論，使得有理數(shù)對應可公度線段，無理數(shù)對應不可公度線段，于是建立起數(shù)軸和實數(shù)系的一一對應。最后再用兩條數(shù)軸做成平面直角坐標系，使得平面上一點和一對有序實數(shù)對應。19世紀50年代蘇聯(lián)的數(shù)學教材就是這樣處理的。后來，我們覺得公度和不可公度的理論實在太麻煩，就直接告訴學生"實數(shù)系和數(shù)軸上的點能夠建立一一對應"，這就是姜伯駒先生所說的一個"平臺"，我們在前人研究的平臺基礎上"大膽地往前走"就是了。這樣做似乎不嚴格、不夠形式化，但是它符合學生的認識規(guī)律，是倚重經驗形態(tài)的東西。現(xiàn)在的學生，并沒有因為我們的不嚴格而在數(shù)學學習上發(fā)生什么錯誤。所以說，絕對的形式化是做不到的，適度的"非形式化"是有益無害的。再進一步，是否可以在適度的非形式化方面再做一些新的努力：在小學學段，雖然不出現(xiàn)坐標系的概念，但是否可以借助具體例子學習用數(shù)對來表示位置，在方格紙上用數(shù)對確定位置?這樣做既符合學生的認知水平，也體現(xiàn)了數(shù)學上坐標方法的精神實質，為以后正式學習平面直角坐標系奠定了基礎。 綜上所述，現(xiàn)代數(shù)學的進展對數(shù)學教育產生了重大的影響。從數(shù)學教育的目標方面我們不難看出：數(shù)學廣泛地運用邏輯，但不等于邏輯；數(shù)學教學要培養(yǎng)學生數(shù)學地思考問題，也要培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識和能力。過去我們輕視應用重視思維是不對的；同樣，認為現(xiàn)在的課程改革只講應用，不要數(shù)學思維和邏輯也是一種誤解。我們的目標是建立一種符合現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的本質和趨勢、符合學生身心發(fā)展規(guī)律和未來需求的數(shù)學教育，它既重視數(shù)學的背景和數(shù)學的應用，也注意數(shù)學的抽象過程和證明。我們要的是"整條魚"，而不是"掐頭去尾燒中段"。數(shù)學教育要全面促進學生的發(fā)展，力求使他們既能有效地應用所學知識和方法去解決日常生活、相關學科和工作中的問題，又能獨立去探索、去發(fā)現(xiàn)；能理性地思考問題，合理地作出判斷；能充滿自信地面對生活和社會。
現(xiàn)代數(shù)學和計算機技術的發(fā)展，為基礎教育數(shù)學課程內容的選擇提供了重要的依據，也為我們反思什么是學生應該掌握的基礎知識和基本技能提供了線索?？傊?，用現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的眼光看基礎、改造原有的基礎、建設新的基礎，乃是數(shù)學課程內容改革的要義。用這樣的觀點來看目前的數(shù)學課程，就會發(fā)現(xiàn)確實需要認真選擇和變革了：概率統(tǒng)計（數(shù)據處理）需要從整體上加強；從平面到立體的幾何直觀需要突出；計算器要盡可能使用；算法思想要引起重視；坐標方法要及早滲透；離散數(shù)學的內容要注意引入……這些反映現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展與進步的內容都應在數(shù)學課程中得到體現(xiàn)。 隨著現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學科學走出了"形式主義"的光圈，與生活的聯(lián)系日益密切，這對教材和教學提出了新的要求。在教材建設和教學過程中，要重視所學內容與生活的聯(lián)系；重視數(shù)學知識的形成和應用過程；重視學生的探索和實踐，教給他們尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法；重視用樸實的語言反映數(shù)學的實質，揭示人們探索真理的道路。 總之，對"現(xiàn)代數(shù)學的進展與數(shù)學課程"的討論，為數(shù)學教育的發(fā)展、數(shù)學課程的改革提供了重要的依據。從現(xiàn)代數(shù)學的進展以及數(shù)學對現(xiàn)代社會的作用這一高度來審視數(shù)學教育的某些問題，確實給我們帶來了許多新的思路和新的啟發(fā)，這些思路和啟發(fā)勢必要在新的數(shù)學課程中得到充分反映。
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